Question

（本小題共12分）

如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，BC=1，AA₁=

（1）求證：BC₁//平面A₁DC；

（2）求二面角D—A₁C—A的大小

 

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）設(shè)二面角D—A₁C—A的大小為

【解析】（I）證明：連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連結(jié)DG，

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，

…………2分

…………4分

（II）解法一： 過點(diǎn)D作交AC于E，過點(diǎn)D作交A₁C于F，連結(jié)EF。

是二面角D—A₁C—A的平面角，…………8分

在直角三角形ADC中，

同理可求：

…………12分

解法二：過點(diǎn)A作交BC于O，過點(diǎn)O作交B₁C₁于E。

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052401000425006126/SYS201205240101184687508702_DA.files/image026.png">

所以，分別以CB、OE、OA所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052401000425006126/SYS201205240101184687508702_DA.files/image029.png">是等邊三角形，所以O(shè)為BC的中點(diǎn)，則

…6分 設(shè)平面A₁DC的法向量為

則

取……8分

可求平面ACA₁的一個(gè)法向量為…………10分

設(shè)二面角D—A₁C—A的大小為

…………12分