Question

某廠家擬在2010年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足x=3-（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2010年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將2010年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2010年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知當m=0時，x=1由滿足x=3-，即可得出k值，從而得出每件產品的銷售價格，從而得出2010年的利潤的表達式即可；
（2）對于（1）中求得的解析式，根據(jù)其中兩項之積為定值結合利用基本不等式此函數(shù)的最大值及相應的x值，從而解決該廠家2010年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．
解答：解：（1）由題意可知當m=0時，x=1（萬件），
∴1=3-k⇒k=2．（2分）
∴x=3-．
每件產品的銷售價格為1.5×（元），（4分）
∴2010年的利潤y=x•-（8+16x+m）（6分）
=4+8x-m=4+8-m
=-+29（m≥0）．（8分）
（2）∵m≥0時，+（m+1）≥2=8，（12分）
∴y≤-8+29=21，當且僅當=m+1⇒m=3（萬元）時，
y_max=21（萬元）．（15分）
所以當該廠家2010年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大．（15分）
點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用、基本不等式的應用等基礎知識，考查學生分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題．