Question

某品牌設計了編號依次為1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N^*）的n種不同款式的時裝，由甲、乙兩位模特分別獨立地從中隨機選擇i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）種款式用來拍攝廣告．
（1）若i=j=2，且甲在1到m（m為給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2）號中選擇，乙在（m+1）到n號中選擇．記P_st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）為款式（編號）s和t同時被選中的概率，求所有的P_st的和；
（2）求至少有一個款式為甲和乙共同認可的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出甲從1到m（m為給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2）號中任選兩款，乙從（m+1）到n號中任選兩款的所有等可能基本事件的種數(shù)，款式s和t（1≤s≤m，m+1≤t≤n）同時被選中包含的基本事件的種數(shù)，利用古典概型概率計算公式可求；
（2）求出甲、乙從n種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)，確定“沒有一個款式為甲和乙共同認可”包含的基本事件種數(shù)，利用對立事件的概率公式可求．
解答：解：（1）甲從1到m（m為給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2）號中任選兩款，乙從（m+1）到n號中任選兩款的所有等可能基本事件的種數(shù)為，
記“款式s和t（1≤s≤m，m+1≤t≤n）同時被選中”為事件B，則事件B包含的基本事件的種數(shù)為，
所以P（B）=，
則所有的P_st的和為：；（4分）
（2）甲從n種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)為：=2ⁿ，
同理得，乙從n種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)為2ⁿ，
據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，所有等可能的基本事件的種數(shù)為：2ⁿ•2ⁿ=4ⁿ，
記“至少有一個款式為甲和乙共同認可”為事件A，則事件A的對立事件為：“沒有一個款式為甲和乙共同認可”，
而事件包含的基本事件種數(shù)為：++…+==（1+2）ⁿ=3ⁿ，
所以．（10分）
點評：本題主要考查組合數(shù)的性質、二項式定理，考查推理論證能力，屬于中檔題．