Question

5．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，過右焦點F的直線與兩條漸近線分別交于點A、B且與其中一條漸近線垂直，若△OAB的面積為2$\sqrt{3}$，其中O為坐標原點，則雙曲線的焦距為（　�。�

• A． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{15}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的離心率，得到a，b的關系，求出雙曲線的漸近線，結合直線和其中一條漸近線垂直，得到直線方程，聯(lián)立方程組求出交點坐標，結合三角形的面積公式建立方程關系進行求解即可．

解答 解：∵雙曲線的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，即c=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$a，則b²=c²-a²=$\frac{12}{9}$a²-a²=$\frac{1}{3}$a²，
即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，則$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即雙曲線的漸近線為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
則F（c，0），
設過右焦點F的直線與y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x垂直，則直線的斜率為-$\sqrt{3}$，
則過F的直線方程為y=-$\sqrt{3}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=-\sqrt{3}（x-c）}\end{array}\right.$，得y_A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=-\sqrt{3}（x-c）}\end{array}\right.$，得y_B=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
則三角形OAB的面積S=S_△OAF+S_△OFB=$\frac{1}{2}$×c•$\frac{\sqrt{3}}{4}$c+$\frac{1}{2}$×c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$c²=2$\sqrt{3}$，
得c²=$\frac{16}{3}$，則c=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
則雙曲線的焦距為2c=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$，
故選：A

點評 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的考查，根據(jù)雙曲線離心率和漸近線的性質(zhì)建立方程是解決本題的關鍵．