Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）過原點(diǎn)分別作函數(shù)f（x）與g（x）的切線，且兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：a=0或1＜a＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解（1）f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0）…（1分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，增區(qū)間是（0，+∞）；…（3分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，增區(qū)間是(0，

1

a

)，減區(qū)間是(

1

a

，+∞)；…（5分）
（2）設(shè)g（x）的切點(diǎn)（x₁，y₁），f（x）的切點(diǎn)（x₂，y₂），

g′(x1)=ex1= y1 x1 y1=ex1

解得

x1=1 y1=e k=e

，…（7分）
∴

f′(x2)= 1 x2 -a= 1 e = y2 x2 y2=lnx2-a(x2-1)

，
∴

1

x2

-a=

lnx2-a(x2-1)

x2

，
∴l(xiāng)nx₂=1-a，∴x2=e1-a代入

1

x2

-a=

1

e

得e^a-ae-1=0，
令p（a）=e^a-ae-1p'（a）=e^a-e，p（a）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）上遞增…（9分）
當(dāng)a∈（-∞，1）時(shí)，
∵p（0）=0，∴a=0…（10分）
當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，p（1）=-1＜0，p（2）=e²-2e-1＞0，所以1＜a＜2，
綜上a=0或1＜a＜2…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算．