Question

已知函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于M(

3π

4

，0)對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)，則滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)（ω，φ）有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

分析：由f（x）是偶函數(shù)可得?的值，圖象關(guān)于點(diǎn)M(

3π

4

，0) 對(duì)稱(chēng)可得函數(shù)關(guān)系 f(

3π

4

-x)=-f(

3π

4

+x)，進(jìn)而可得ω的可能取值，結(jié)合單調(diào)函數(shù)可確定ω的值．

解答：解：由f（x）是偶函數(shù)，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx，對(duì)任意x都成立，且ω＞0，
所以得cos∅=0．
依題設(shè)0≤∅≤π，所以解得∅=

π

2

．
所以函數(shù)y=sin（ωx+

π

2

）．
由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，可得f(

3π

4

-x)=-f(

3π

4

+x)，
取x=0，可得f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

=0，
又因?yàn)棣兀?，
所以

3wπ

4

=

π

2

+kπ，k=1，2，3，
所以ω=

2

3

（2k+1），k=0，1，2，
當(dāng)k=0時(shí)，ω=

2

3

，則f（x）=sin（

2

3

x+

π

2

）在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)k=1時(shí)，ω=2，則f（x）=sin（2x+

π

2

）在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)k≥2時(shí)，f（x）=sin（ωx+

π

2

）在區(qū)間[0，

π

2

]上不是單調(diào)函數(shù)，
所以ω=

2

3

或者ω=2．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性等基本知識(shí)，以及分析問(wèn)題和推理計(jì)算能力．