Question

2．某工廠每日生產(chǎn)某種產(chǎn)品x（x≥1）噸，當日生產(chǎn)的產(chǎn)品當日銷售完畢，產(chǎn)品價格隨產(chǎn)品產(chǎn)量而變化，當1≤x≤20時，每日的銷售額y（單位：萬元）與當日的產(chǎn)量x滿足y=alnx+b，當日產(chǎn)量超過20噸時，銷售額只能保持日產(chǎn)量20噸時的狀況．已知日產(chǎn)量為2噸時銷售額為4.5萬元，日產(chǎn)量為4噸時銷售額為8萬元．
（1）把每日銷售額y表示為日產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）若每日的生產(chǎn)成本$c（x）=\frac{1}{2}x+1$（單位：萬元），當日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大？并求出最大值．（注：計算時取ln2=0.7，ln5=1.6）

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程，求出a，b，然后求出函數(shù)的解析式．
（2）當日產(chǎn)量為x噸時，每日利潤為l（x），推出$l（x）=y-c（x）=\left\{\begin{array}{l}5lnx-\frac{1}{2}x，1≤x≤20\\ 15-\frac{1}{2}x，x＞20\end{array}\right.$，①若1≤x≤20，利用函數(shù)的導數(shù)求出最大值；②若x＞20，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大值．

解答 解：（1）因為x=2時，y=4.5，所以0.7a+b=4.5①，
當x=4時，y=8，所以1.4a+b=8②，
由①②解得a=5，b=1，所以當1≤x≤20時，y=5lnx+1．…（4分）
當x=20時，y=ln20+1=5×（2ln2+ln5）+1=5×（1.4+1.6）+1=16．
所以$y=\left\{\begin{array}{l}5lnx+1，1≤x≤20\\ 16，x＞20\end{array}\right.$．…（6分）
（2）當日產(chǎn)量為x噸時，每日利潤為l（x），則$l（x）=y-c（x）=\left\{\begin{array}{l}5lnx-\frac{1}{2}x，1≤x≤20\\ 15-\frac{1}{2}x，x＞20\end{array}\right.$．…（8分）
①若1≤x≤20，則${l^'}（x）=\frac{5}{x}-\frac{1}{2}=\frac{10-x}{2x}$，
當1≤x＜10時l′（x）＞0；當10＜x≤20時，l′（x）＜0，
故x=10是函數(shù)在[1，20]內(nèi)唯一的極大值點，也是最大值點，
所以$l{（x）_{max}}=l（10）=5ln10-\frac{1}{2}×10=6.5$萬元．…（11分）
②若x＞20，則$l（x）=15-\frac{1}{2}x$，顯然$l（x）=15-\frac{1}{2}x$單調(diào)遞減，故l（x）＜5．
結合①②可知，當日產(chǎn)量為10噸時，每日的利潤可達到最大，最大利潤為6.5萬元．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)與方程的實際應用，函數(shù)的導數(shù)的應用，最大值的求法，考查分段函數(shù)以及分類討論思想的應用．