已知橢圓的離心率為，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，過點作與軸不重合的直線交橢圓于、兩點，連結(jié)、分別交直線于、兩點．試問直線、的斜率之積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）由直線和圓相切，求，再由離心率，得，從而求，進而求橢圓的方程；（2）要說明直線、的斜率之積是否為定值，關(guān)鍵是確定、兩點的坐標.首先設(shè)直線的方程，并與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用三點共線確定、兩點的坐標的坐標，再計算直線、的斜率之積，這時會涉及到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，研究其值是否為定值即可．
試題解析：（1），故     4分
（2）設(shè)，若直線與縱軸垂直，  

則中有一點與重合，與題意不符，
故可設(shè)直線.           5分
將其與橢圓方程聯(lián)立，消去得：
          6分
     7分
由三點共線可知，，，        8分
同理可得                                             9分
                  10分
而       11分
所以
故直線、的斜率為定值.                                  13分
考點：1、橢圓的標準方程和簡單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點是拋物線上不同的兩點，點在拋物線的準線上，且焦點
到直線的距離為.
(I）求拋物線的方程；
（2）現(xiàn)給出以下三個論斷：①直線過焦點；②直線過原點；③直線平行軸．
請你以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題，并加以證明.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩個焦點分別為，且點在橢圓C上，又.
（1）求焦點F2的軌跡的方程；
（2）若直線與曲線交于M、N兩點，以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，求實數(shù)b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線：和：的焦點分別為，交于兩點（為坐標原點），且.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點的直線交的下半部分于點，交的左半部分于點，點坐標為，求△面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點為F(－2，0)．
(1)求雙曲線方程；
(2)設(shè)Q是雙曲線上一點，且過點F，Q的直線l與y軸交于點M，若= 2，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點，長軸的左、右端點分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過焦點斜率為（）的直線交橢圓于兩點，弦的垂直平分線與軸相交于點. 試問橢圓上是否存在點使得四邊形為菱形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的準線與x軸交于點M，過點M作圓的兩條切線，切點為A、B，.
（1）求拋物線E的方程；
（2）過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點）三點共線，求點N的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知定點與分別在軸、軸上的動點滿足：,動點滿足．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于兩點，直線與直線分別交于點（為坐標原點）；
（i）試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系；
（ii）探究是否為定值？并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經(jīng)過點，其左、右頂點分別是、，左、右焦點分別是、，（異于、）是橢圓上的動點，連接交直線于、兩點,若成等比數(shù)列.

（1）求此橢圓的離心率；
（2）求證:以線段為直徑的圓過點.

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