Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，過動(dòng)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C點(diǎn)，而點(diǎn)D滿足2

PD

=

PC

，且有

PA

•

PB

=2，
（1）求點(diǎn)D的軌跡方程；
（2）求△ABD面積的最大值；
（3）斜率為k的直線l被（1）中軌跡所截弦的中點(diǎn)為M，若∠AMB為直角，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

PA

•

PB

=2，求得P（x'，y'）滿足的方程：（x'）²+（y'）²=4…（*）．再由2

PD

=

PC

，可得x'=2x-1，y'=2y，代入（*）式得（2x-1）²+（2y）²=4，化簡(jiǎn)即得點(diǎn)D的軌跡方程．
（2）根據(jù)D點(diǎn)滿足的方程，設(shè)D（

1

2

+cosα，sinα），用點(diǎn)到直線的距離公式求得D到AB距離的最大值為1+

2

2

，由此即可得到△ABD面積的最大值；
（3）∠AMB為直角，則點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，從而得到滿足條件的M在位于圓N：（x-

1

2

）²+y²=1在x²+y²=2內(nèi)的劣弧上，求出界點(diǎn)處的切線斜率，再觀察直線l的斜率的變化，可得斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)P（x'，y'），得

PA

=（1-x'，1-y'），

PB

=（-1-x'，-1-y'），
所以

PA

•

PB

=（1-x'）（-1-x'）+（1-y'）（-1-y'）=（x'）²+（y'）²-2
∵

PA

•

PB

=2，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為（x'）²+（y'）²-2=2，即（x'）²+（y'）²=4…（*）
再設(shè)D（x'，y'），由2

PD

=

PC

得D為PC的中點(diǎn)
∴x=

1

2

(x′+1)，y'=

1

2

y′．
可得x'=2x-1，y'=2y．代入（*）式得（2x-1）²+（2y）²=4
化簡(jiǎn)得點(diǎn)D的軌跡方程：（x-

1

2

）²+y²=1
（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（

1

2

+cosα，sinα），
求得直線AB的方程為x-y=0，得D到直線AB的距離為
d=

| 1 2 +cosα-sinα|

2

=

| 1 2 + 2 cos(α+ π 4 )|

2

當(dāng)α=

7π

4

時(shí)，d的最大值為1+

2

2

，
因此△ABD面積的最大值為

1

2

×AB×（1+

2

2

）=1+

2

；
（3）若∠AMB為直角，則點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上
求得以AB為直徑的圓方程為x²+y²=2，該圓與D的軌跡交于點(diǎn)M₁（

5

4

，

7

4

）和M₂（

5

4

，-

7

4

）
滿足條件的點(diǎn)M位于圓N：（x-

1

2

）²+y²=1在x²+y²=2內(nèi)的劣弧上
∵KNM1=

7 4 -0

5 4 - 1 2

=

7

3

，得此時(shí)切線l的斜率k₁=

1

KNM1

=-

3 7

7

KNM2=

- 7 4 -0

5 4 - 1 2

=-

7

3

，得此時(shí)切線l的斜率k₂=

1

KNM2

=

3 7

7

∴運(yùn)動(dòng)點(diǎn)M，觀察斜率變化，可得直線l的斜率為k∈（-∞，-

3 7

7

）∪（

3 7

7

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題以向量運(yùn)算為載體，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程并求動(dòng)直線斜率k的取值范圍，著重考查了向量的數(shù)量積、直線與圓的位置關(guān)系和動(dòng)點(diǎn)軌跡方程求法等知識(shí)，屬于難題．