Question

觀察下列等式
     1=1
     2+3+4=9
   3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
（Ⅰ）照此規(guī)律，請你猜測出第n個(gè)等式；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜測的等式

 

．（其他證法不給分）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，觀察等式的左邊，分析可得規(guī)律：第n個(gè)等式的左邊是從n開始的（2n-1）個(gè)數(shù)的和，進(jìn)而可得答案．
（Ⅱ）首先證明當(dāng)n=1時(shí)等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)等式成立，得到等式k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-1）=（2k-1）²，下面證明當(dāng)n=k+1時(shí)等式左邊=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）根據(jù)前面的假設(shè)化簡即可得到結(jié)果，最后得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：根據(jù)題意，觀察可得，
第一個(gè)等式的左邊、右邊都是1，
第二個(gè)等式的左邊是從2開始的3個(gè)數(shù)的和，
第三個(gè)等式的左邊是從3開始的5個(gè)數(shù)的和，
…
其規(guī)律為：第n個(gè)等式的左邊是從n開始的（2n-1）個(gè)數(shù)的和，
即n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-1）=（2n-1）²；
故答案為：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．
（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，
∴左邊=右邊
（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²，
當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左邊=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）=（2k-1）²+（3k-1）-k+3k+（3k+1）═（2k+1）²．
綜上（1）（2）可知n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²對于任意的正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評：（Ⅰ）本題考查歸納推理，解題時(shí)要認(rèn)真分析題意中的等式，發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，注意驗(yàn)證即可．（Ⅱ）本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時(shí)成立，本題是一個(gè)中檔題目．