Question

已知函數(shù)f（x）=

3

cos²x+sinx•cosx-

3

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期T和函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心為（x，0），求x∈[0，2π）的所有x的和．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得：f(x)=sin(2x+

π

3

)從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期T和函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）令2x+

π

3

=kπ，k∈Z即可求出x的值，因?yàn)閤∈[0，2π）故可求所有x的和．

解答： 解：（I）∵由題得：f（x）=

3

cos²x+sinx•cosx-

3

2

=

3

•

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

3

）．
∴f(x)=sin(2x+

π

3

)，
∴T=

2π

2

=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
可得：遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（II）令2x+

π

3

=kπ，k∈Z，
可得：x=-

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
∵x∈[0，2π）∴k可取1，2，3，4．
∴所有滿足條件的x的和為：

2π

6

+

5π

6

+

8π

6

+

11π

6

=

13π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．