Question

17．如圖，在水平放置的直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入兩個半徑相等的小球（球A和球B），圓柱的底面直徑為2+$\sqrt{2}$，向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球B
（Ⅰ）求球A的體積；
（Ⅱ）求圓柱的側(cè)面積與球B的表面積之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓柱的半徑為R，小球的半徑為r，且r＜R，利用勾股定理可求出r的值，進而得到球A的體積；
（Ⅱ）分別求出球的表面積和圓柱的側(cè)面積，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓柱的半徑為R，小球的半徑為r，且r＜R
由圓柱與球的性質(zhì)知AB²=（2r）²=（2R-2r）²+（2R-2r）²，
即r²-4Rr+2R²=0，
∵r＜R，
∴$r=（2-\sqrt{2}）R=（2-\sqrt{2}）\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}=1$
∴球A的體積$V=\frac{4}{3}π{r^3}=\frac{4}{3}π$…（6分）
（Ⅱ）球B的表面積${S_{球B}}=4π{r^2}=4πr$
圓柱的側(cè)面積${S_{圓柱}}=2πR•2R=4π{R^2}=（6+4\sqrt{2}）π$
∴圓柱的側(cè)面積與球B的表面積之比為$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．              …（6分）

點評 本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，球的體積與表面積公式，圓柱的側(cè)面積公式，其中求出球的半徑r是解答的關(guān)鍵．