Question

若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=

1+an

1-an

（n∈N⁺），則可得該數(shù)列的前2011項(xiàng)的乘積a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

分析：先由遞推關(guān)系式，分析得到數(shù)列{a_n}的規(guī)律．即數(shù)列是以4為循環(huán)的數(shù)列，再求解．

解答：解：由遞推關(guān)系式，得an+2=

1+an+1

1-an+1

=

1+ 1+an 1-an

1- 1+an 1-an

=- 

1

an

，
則an+4=-

1

an+2

=-

1

- 1 an

=an．
∴{a_n}是以4為循環(huán)的一個(gè)數(shù)列．
由計(jì)算，得a₁=2，a2=-3，a3=-

1

2

，a4=

1

3

，a₅=2，…
∴a₁a₂a₃a₄=1，
∴a₁•a₂…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=1×a₂₀₀₉•a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=a₁•a₂•a₃=3．
故答案是3

點(diǎn)評(píng)：遞推關(guān)系式是數(shù)列內(nèi)部之間關(guān)系的一個(gè)式子．當(dāng)遇到如題中的連續(xù)多項(xiàng)計(jì)算，特別是不可能逐一計(jì)算時(shí)，往往數(shù)列本身會(huì)有一定的規(guī)律，如循環(huán)等，再利用規(guī)律求解．