Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+ax+b

x

(x≠0)是奇函數(shù)，且滿足f（1）=f（4）
（Ⅰ）求實數(shù)a、b的值； 
（Ⅱ）試證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）單調(diào)遞增；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)k同時滿足以下兩個條件：
①不等式f(x)+

k

2

＞0對x∈（0，+∞）恒成立；
②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，試求出實數(shù)k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)f（1）=f（4）求出b的值；再結(jié)合f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立求出a的值即可；
（Ⅱ）直接按照單調(diào)性的證明過程來證即可；
（Ⅲ）先結(jié)合第二問的結(jié)論知道函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4以及可知函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上遞增，在[-2，0）上遞減；對于①；轉(zhuǎn)化為f（x）_min＞-

k

2

；對于②轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題即可；最后把兩個成立的范圍相結(jié)合即可求出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ） 由f（1）=f（4）得1+a+b=

16+4a+b

4

，解得b=4．  …（1分）
由f(x)=

x2+ax+b

x

(x≠0)為奇函數(shù)，得f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立，
即

x2+ax+b

x

+

x2-ax+b

-x

=2a=0，所以a=0．  …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=x+

4

x

．
任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，…（5分）
∵0＜x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]單調(diào)遞減．  …（7分）
類似地，可證f（x）在區(qū)間（2，+∞）單調(diào)遞增．  …（8分）
（Ⅲ）對于條件①，由（Ⅱ）得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4，
故若f(x)+

k

2

＞0對x∈（0，+∞）恒成立，
則需f（x）_min＞-

k

2

，則4＞-

k

2

，
∴k＞-8；
對于條件②，由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上遞增，在[-2，0）上遞減，
∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]上遞增，在[-2，0）上遞減，
又f（-6）=-

20

3

，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
所以函數(shù)f（x）在[-6，-1]上的值域為[-

20

3

，-4]，
若方程f（x）=k在[-6，-1]上有解，則需-

20

3

≤k≤-4，
若同時滿足條件①②，則需

k＞-8 - 20 3 ≤ k≤-4

．
所以：-

20

3

≤k≤-4．
故當(dāng)-

20

3

≤k≤-4時，條件①②同時滿足．

點評：本題主要考察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合．解決第一問的關(guān)鍵在于利用奇函數(shù)的定義得到f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立求出a的值．