【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).

1)證明:上單調(diào)遞增.

2)設(shè),函數(shù),如果總存在,對任意,都成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1)證明見解析;(2

【解析】

1)根據(jù)定義任取,,,利用作差,變形后即可判斷符號,即可證明函數(shù)的單調(diào)性.

2)根據(jù)定義可判斷的奇偶性.由不等式在區(qū)間上的恒成立,可知存在,對任意都有.根據(jù)解析式及單調(diào)性,分別求得的最大值和的最大值,即可得不等式.再利用換元法,構(gòu)造對勾函數(shù)形式,即可解不等式求得的取值范圍.

1)證明:任取,,,

因為,,所以,,,

所以,即當(dāng),總有,所以上單調(diào)遞增.

2)由,

上的偶函數(shù),同理,也是上的偶函數(shù).

總存在,對任意都有,即函數(shù)上的最大值不小于,的最大值.

由(1)知上單調(diào)遞增,所以當(dāng),的最大值為,

.

因為,,所以當(dāng),的最大值為.

所以.

,,

,

易知上單調(diào)遞增,,所以,,

所以,即實數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某家庭進(jìn)行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,且投資1萬元時的收益為萬元,投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比,且投資1萬元時的收益為0.5萬元,

1)分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;

2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎樣分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益為多少萬元?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從某市統(tǒng)考的學(xué)生數(shù)學(xué)考試卷中隨機(jī)抽查100份數(shù)學(xué)試卷作為樣本,分別統(tǒng)計出這些試卷總分,由總分得到如下的頻率分別直方圖.

(1)求這100份數(shù)學(xué)試卷成績的中位數(shù);

(2)從總分在的試卷中隨機(jī)抽取2份試卷,求抽取的2份試卷中至少有一份總分少于65分的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:

0

0

2

0

0

(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,填寫在相應(yīng)位置,并求出函數(shù)的解析式;

(2)把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把得到的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓的方程為,圓的方程為,動圓與圓內(nèi)切且與圓外切.

(1)求動圓圓心的軌跡的方程;

(2)已知為平面內(nèi)的兩個定點,過點的直線與軌跡交于,兩點,求四邊形面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市居民自來水收費標(biāo)準(zhǔn)如下:每戶每月用水量不超過4噸時,每噸為2元;當(dāng)用水量超4噸時,超過部分每噸為3元.八月甲、乙兩用戶共交水費元,已知甲、乙兩用戶月用水量分別為噸、噸.

(1)求關(guān)于的函數(shù);

(2)若甲、乙兩用戶八月共交34元,分別求甲、乙兩用戶八月的用水量和水費.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),均為正的常數(shù))的最小正周期為,當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是(

A.

B.

C.

D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某高三理科班共有60名同學(xué)參加某次考試,從中隨機(jī)挑選出5名同學(xué),他們的數(shù)學(xué)成績與物理成績如下表:

數(shù)據(jù)表明之間有較強的線性關(guān)系.

(1)求關(guān)于的線性回歸方程;

(2)該班一名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?10分,利用(1)中的回歸方程,估計該同學(xué)的物理成績;

(3)本次考試中,規(guī)定數(shù)學(xué)成績達(dá)到125分為優(yōu)秀,物理成績達(dá)到100分為優(yōu)秀.若該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為,且除去抽走的5名同學(xué)外,剩下的同學(xué)中數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學(xué)共有5人.能否在犯錯誤概率不超過0.01的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)?

參考數(shù)據(jù):回歸直線的系數(shù),.

,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,半圓的直徑,為圓心,,為半圓上的點.

(Ⅰ)請你為點確定位置,使的周長最大,并說明理由;

(Ⅱ)已知,設(shè),當(dāng)為何值時,

(。┧倪呅的周長最大,最大值是多少?

(ⅱ)四邊形的面積最大,最大值是多少?

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