Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，直線y=

2

2

x與橢圓在第一象限的交點(diǎn)是M，M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F₂，另一個(gè)焦點(diǎn)是F₁．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若

MF1

•

MF2

=2，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，直線l經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F₁，且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，求△F₂PQ面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)題意，得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合直線方程，求出離心率e；
（2）由

MF1

•

MF2

=2得方程①，e=

2

2

得方程②，b²=a²-c²③，①②③組成方程組，求出a²、b²即可；
（3）討論直線l的斜率不存在時(shí)，求得△F₂PQ的面積，直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)出直線方程y=k（x+2），與橢圓方程聯(lián)立，求出△F₂PQ的面積，由此求出△F₂PQ面積的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由題意，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為c，縱坐標(biāo)為

b2

a

，
∴

2

2

c=

b2

a

，
轉(zhuǎn)化為

2

2

c=

a2-c2

a

，
即

2

2

c

a

=1-(

c

a

)2，
∴e²+

2

2

e-1=0，
解得e=

2

2

（負(fù)根舍去）；
（2）∵M(jìn)（c，

b2

a

），∴

MF1

=（-2c，-

b2

a

），

MF2

=（0，-

b2

a

）；
∴

MF1

•

MF2

=

b4

a2

=2①，
又∵e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

2

a②，
由c²=a²-b²③，
①②③組成方程組，解得a²=8，b²=4，
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易求得P(-2，

2

)，Q(-2，-

2

)，△F₂PQ的面積為4

2

；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x+2），
由代入橢圓方程得（（1+2k²）x²+8k²x+（8k²-8）=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-8

1+2k2

，
∴△F₂PQ的面積為
S△F2PQ=S△PF1F2+S△QF1F2
=

1

2

•|F₁F₂|•|y₁-y₂|
=2k|x₁-x₂|
=2k•

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

•

4k4+4k2 4k4+4k2+1

＜4

2

；
綜上，△F₂PQ面積的最大值為4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，也考查了橢圓的離心率和求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．