Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=

ex

2

（ax²+a+1），其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）判斷f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，求f（x）在[-2，-1]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′(x)=

ex

2

(ax2+2ax+a+1)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)函數(shù)．
（2）由已知條件推導(dǎo)出x∈[-2，-1]時(shí)，f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，由此能求出f（x）在[-2，-1]上的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ex

2

（ax²+a+1），
∴f′(x)=

ex

2

(ax2+2ax+a+1)，
設(shè)g（x）=ax²+2ax+a+1=a（x+1）²+1，
當(dāng)a≥0時(shí)，g（x）≥1，f′（x）＞0，
即f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）=0的兩根分別為

-a± -a

a

，
且

-a+ -a

a

＜

-a- -a

a

，
當(dāng)x∈(

-a+ -a

a

，

-a- -a

a

)時(shí)，g（x）＞0
即f'（x）＞0
當(dāng)x∈(-∞，

-a+ -a

a

)∪(

-a- -a

a

，+∞)時(shí)，g（x）＜0
即f'（x）＜0，
∴f（x）在（

-a+ -a

a

，

-a- -a

a

）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
在（-∞，

-a+ -a

a

）和（

-a- -a

a

，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，

a+ -a

a

=-1-

1

-a

＜-2，

-a- -a

a

=-1+

1

-a

＞-1，
∴x∈[-2，-1]時(shí)，f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
故x=-2時(shí)，f（x）_min=f（-2）=

5a+1

2e2

，
x=-1時(shí)，f(x)max=f(-1)=

2a+1

2e

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查最值的求法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．