Question

已知直線l₁：（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0與直線l₂：m²x-

4

3

n²y+4=0．
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)a，b變化時(shí)，求證：直線l₁過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若直線l₂通過(guò)直線l₁的定點(diǎn)，求點(diǎn)（m，n）所在曲線C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），P（x₀，0）（x₀＞0），過(guò)點(diǎn)P的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)都在x軸上方），且

F1A

=3

F2B

，求此直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）l₁的方程化為（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0，令

2x+y+1=0 x+y-1=0

，解得即可得出．
（2）由l₂過(guò)定點(diǎn)（-2，3），代入l₂化簡(jiǎn)得

m2

2

+n2=1，即可得出．
（3）由

F1A

=3

F2B

，可得F₁A∥F₂B，且|F₁A|=3|F₂B|，可得|PF₁|=3|PF₂|，解出x₀．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用

F1A

=3

F2B

，及其

x 2 1 +2 y 2 1 =2 x 2 2 +2 y 2 2 =2

，解出即可．

解答： （1）證明：l₁的方程化為（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0，
令

2x+y+1=0 x+y-1=0

，解得

x=-2 y=3

，
所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，3）．
（2）解：由l₂過(guò)定點(diǎn)（-2，3），代入得-2m²-4n²+4=0，化簡(jiǎn)得

m2

2

+n2=1，
∴點(diǎn)（m，n）所在曲線C的方程為

x2

2

+y2=1．
（3）解：∵

F1A

=3

F2B

，∴F₁A∥F₂B，且|F₁A|=3|F₂B|，
∴|PF₁|=3|PF₂|，
∴xx₀+1=3（x₀-1），解得x₀=2．
∴P（2，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則

F1A

=（x₁+1，y₁），

F2B

=（x₂-1，y₂），
由

F1A

=3

F2B

，得

x1+1=3(x2-1) y1=3y2

，
又由

x 2 1 +2 y 2 1 =2 x 2 2 +2 y 2 2 =2

，
聯(lián)立解得

x1=0 y1=1

，
∴A（0，1），
∴PA的方程為x+2y-2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、向量共線定理、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．