【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn),又PA=4,AB=4 ,∠CDA=120°,點(diǎn)N在線段PB上,且PN=2.

(1)求證:BD⊥PC;
(2)求證:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.

【答案】
(1)證明:∵△ABC是正三角形,M是AC中點(diǎn),

∴BM⊥AC,即BD⊥AC,

又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,

又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,

∴BD⊥PC.


(2)證明:在正△ABC中,BM=6,

在△ACD中,∵M(jìn)為AC中點(diǎn),DM⊥AC,∴AD=CD,

∠ADC=120°,∴DM=2,

= ,

在Rt△PAB中,PA=4,AB=4 ,PB=8.

= = ,∴MN∥PD,

又MN平面PDC,PD平面平面PDC,

∴MN∥平面PDC.


(3)解:∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,

∴AB⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB、AD、AP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

∴B(4 ,0,0),C(2 ,6,0),D(0,4,0),P(0,0,4),

=(2 ,6,﹣4), =(4 ,0,﹣4),

由(2)知 =(4 ,﹣4,0)是平面PAC的法向量,

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),

,即 ,取z=3,得 =( ),

設(shè)二面角A﹣PC﹣B的平面角為θ,

則cosθ= = =

∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值為


【解析】(1)推導(dǎo)出BD⊥AC,PA⊥BD,從而B(niǎo)D⊥平面PAC,由此能證明BD⊥PC.(2)推導(dǎo)出DM⊥AC,AD=CD,DM=2, = ,從而MN∥PD,由此能證明MN∥平面PDC.(3)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB、AD、AP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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④“ ”是“ ”的充分必要條件. 其中正確的命題個(gè)數(shù)是( )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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