Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）證明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA₁，A₁B，由已知可證OA₁⊥AB，AB⊥平面OA₁C，進(jìn)而可得AB⊥A₁C；
（Ⅱ）易證OA，OA₁，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立坐標(biāo)系，可得，，的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB₁C₁C的法向量，則，可解得=（，1，-1），可求cos＜，＞，即為所求正弦值．
解答：解：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA₁，A₁B，
因為CA=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
所以△AA₁B為等邊三角形，所以O(shè)A₁⊥AB，
又因為OC∩OA₁=O，所以AB⊥平面OA₁C，
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交線為AB，
所以O(shè)C⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC兩兩垂直．
以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
可得A（1，0，0），A₁（0，，0），C（0，0，），B（-1，0，0），
則=（1，0，），=（-1，，0），=（0，-，），
設(shè)=（x，y，z）為平面BB₁C₁C的法向量，則，即，
可取y=1，可得=（，1，-1），故cos＜，＞==，
故直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為．
點評：本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定，屬難題．