Question

20．（1）若正數(shù)a，b滿足a≥4，ab=a+b+3，則ab的取值范圍是多少？
（2）已知a＞0，b＞0，4a+b=1，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）將a的最小值代入求出b的值，從而求出ab的取值范圍；
（2）把$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$看成（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）×1的形式，把“1”換成4a+b，整理后積為定值，然后用基本不等式求最小值．

解答 解：（1）若正數(shù)a，b滿足a≥4，ab=a+b+3，
則a=4時(shí)：b=$\frac{7}{3}$，此時(shí)ab=$\frac{28}{3}$，
故ab的取值范圍是[$\frac{28}{3}$，+∞）；
（2）∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）×（4a+b）
=4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$+1
≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=9，
等號(hào)成立的條件為$\frac{a}$=$\frac{4a}$．
所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，解決（2）題的關(guān)鍵是“1”的代換．