Question

已知f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）證明函數(shù)f （ x ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)函數(shù)f （x ）的最大值為

5

2

，求此時(shí)a的值．
（Ⅳ）當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)函數(shù)f （x ）的最大值為

5

2

，求此時(shí)a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明函數(shù)f （ x ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱則只須證明函數(shù)f （ x ）是偶函數(shù)；
（Ⅱ）對(duì)底數(shù)分類討論，利用單調(diào)性的證題步驟加以證明；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f （x ）為增函數(shù)，利用函數(shù)f （x ）的最大值為

5

2

，建立方程，可求a的值；
（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）證知f（x） 是偶函數(shù)且在（0，+∞）上為增函數(shù)，則知f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)；
則當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，函數(shù)f （x ）為減函數(shù)，利用函數(shù)f （x ）的最大值為

5

2

，建立方程，可求a的值．

解答：（Ⅰ）證明：∵x∈R，f（-x）=a^-x+a^x=a^x+a^-x=f（x）…（3分）
∴函數(shù)f （ x ）是偶函數(shù)，∴函數(shù)f （ x ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱…（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=ax1+a-x1-(ax2+a-x2)
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，
由0＜x₁＜x₂，則x₁+x₂＞0，則ax1＞0、ax2＞0、ax1＜ax2、ax1+x2＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
由0＜x₁＜x₂，則x₁+x₂＞0，則ax1＞0、ax2＞0、ax1＞ax2、0＜ax1+x2＜1；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）；
所以，對(duì)于任意a（a＞0且a≠1），f（x）在（0，+∞）上都為增函數(shù)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f （x ）亦為增函數(shù)；
由于函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，則f（2）=

5

2

即a2+

1

a2

=

5

2

，解得a=

2

，或a=

2

2

（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）證知f（x） 是偶函數(shù)且在（0，+∞）上為增函數(shù)，則知f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)；
則當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，函數(shù)f （x ）為減函數(shù)
由于函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，則f（-2）=

5

2

即

1

a2

+a2=

5

2

，解得a=

2

，或a=

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，屬于中檔題．