Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)．
（1）證明AD⊥D₁F；
（2）證明面AED⊥面A₁FD₁
（3）求AE與平面D₁EF所成的角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì),平面與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，即可得證；
（2）取AB的中點(diǎn)G，連接FG，A₁G，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)，證得AE⊥A₁G，再由線面垂直的判定和面面垂直的判定定理，即可得證；
（3）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），D₁（0，0，2），F(xiàn)（0，1，0），求出所求向量的坐標(biāo)，再設(shè)平面D₁EF的法向量為

n

=（x，y，z），由向量的數(shù)量積為0，求得一個(gè)法向量，再由向量的夾角公式，即可得到．

解答： （1）證明：由于AD⊥DD₁，AD⊥CD，
則AD⊥平面CDD₁C₁，D₁F?平面CDD₁C₁，
則AD⊥D₁F；
（2）證明：取AB的中點(diǎn)G，連接FG，A₁G，
易得D₁FGA₁為平行四邊形，則D₁F∥A₁G，
在正方形ABB₁A₁中，tan∠A₁GA=

A1A

AG

=2，tan∠EAB=

1

2

，
即有∠A₁GA+∠EAB=90°，即有AE⊥A₁G，
即有AE⊥D₁F，又AD⊥D₁F，

D1F

則D₁F⊥平面AED，D₁F?平面A₁D₁F，
則面AED⊥面A₁FD₁；
（3）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD₁所在的直線
為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），D₁（0，0，2），F(xiàn)（0，1，0），

AE

=（0，2，1），

EF

=（-2，-1，-1），

D1F

=（0，1，-2），
設(shè)平面D₁EF的法向量為

n

=（x，y，z），
則由

n

⊥

EF

可得，

n

•

EF

=0，即-2x-y-z=0，

n

⊥

D1F

，可得，

n

•

D1F

=0，即有y-2z=0，
則取

n

=（-3，4，2），
cos＜

n

，

AE

＞=

0+8+2

5 • 29

=

2 5

29

，
設(shè)AE與平面D₁EF所成的角為θ，
則sinθ=

20

29

，cosθ=

3 29

29

．
則AE與平面D₁EF所成的角的余弦值為

3 29

29

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定定理和運(yùn)用，考查空間的直線和平面所成的角的求法：運(yùn)用法向量求解，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．