Question

【題目】定義為n個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若4<對(duì)一切恒成立試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

(3)令，問(wèn)：是否存在正整數(shù)k使得對(duì)一切恒成立，如存在求出k值，否則說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在正整數(shù)k=10使得對(duì)一切恒成立．

【解析】

(1)由題意首先確定數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；

(2)首先裂項(xiàng)求和求得，然后結(jié)合前n項(xiàng)和的范圍得到關(guān)于m的不等式，求解不等式即可確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)解法一：計(jì)算的值，確定取得最大值時(shí)的n的取值即可求得實(shí)數(shù)k的值；

解法二：由題意可知，滿足題意時(shí)有，據(jù)此求解實(shí)數(shù)k的范圍，結(jié)合k為正整數(shù)即可求得實(shí)數(shù)k的值.

(1)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，

由于數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，

所以，

=，

當(dāng)，

當(dāng)，

（對(duì)當(dāng)成立），

．

(2)==，

==，

<對(duì)一切恒成立，

，

解之得，

即m的取值范圍是．

(3)解法一：=，

由于=，

時(shí)，時(shí)，

時(shí)取得最大值，

即存在正整數(shù)k=10使得對(duì)一切恒成立．

解法二：=，

假設(shè)存在正整數(shù)k使得則為數(shù)列中的最大項(xiàng)，

由得，

，

又，

k=10，

即存在正整數(shù)k=10使得對(duì)一切恒成立．