Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-bx+c（a＞0，b、c∈R），曲線y=f（x）經(jīng)過點(diǎn)P（0，2a²+8），且在點(diǎn)Q（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，設(shè)g（x）=（f（x）-16）•e^-x．
（1）用a分別表示b和c；（2）當(dāng)

c

b

取得最小值時(shí)，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）將P的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）得到a，c的關(guān)系，求出導(dǎo)函數(shù)在x=-1處的值即切線的斜率，令其為0得到a，b的關(guān)系．
（2）將（1）中的關(guān)系代入

c

b

得到關(guān)于a的函數(shù)，利用基本不等式求出最小值，求出等號(hào)成立時(shí)a的值，代入g（x）；求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0求出x范圍即為函數(shù)的定義域．

解答：解：（1）∵經(jīng)過點(diǎn)P（0，2a²+8），
∴c=2a²+8；
由切線垂直于y軸可知f′（-1）=0，從而有-2a+b=0，
∴b=2a
（2）因?yàn)閍＞0從而

c

b

=

2a2+8

2a

=a+

4

a

≥2

a• 4 a

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=

4

a

，即a=2時(shí)取得等號(hào)．
∴f（x）=2x²+4x+16；g（x）=（2x²+4x）e^-x
∴g′（x）=e^-x（4-2x²）
因?yàn)閑^-x＞0
∴g′（x）＞0時(shí)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，即(-

2

，

2

)為單調(diào)遞增區(qū)間

點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，一定注意基本不等式使用的條件：一正、二定、三相等；導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率．