Question

實(shí)數(shù)x，y滿足

x-y+1≤0 x＞0 y≤2

．
（1）若z=

y

x

，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；
（2）若z=x²+y²，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）z=

y

x

表示的是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率．故z=

y

x

的最值問(wèn)題即為直線的斜率的最大值與最小值．
（2）z=x²+y²的最值表示的是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的兩點(diǎn)距離的平方的最大值、最小值．

解答：解：由

x-y+1≤0 x＞0 y≤2

．作出可行域如圖陰影部分所示：
（1）z=

y

x

表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，
因此

y

x

的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率（OA斜率不存在）．
而由

x-y+1=0 y=2

得B（1，2），∴kOB=

2

1

=2．
∴z_max不存在，z_min=2，∴z的取值范圍是[2，+∞）．
（2）z=x²+y²表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)間距離的平方．
因此x²+y²的范圍最小為|OA|²（取不到），最大為|OB|²．由

x-y+1=0 x=0

得A（0，1），
∴|OA|²=(

0+1

)2=1，|OB|²=(

12+22

)2=5．
∴z_max=5，z無(wú)最小值．故z的取值范圍是（1，5]．

點(diǎn)評(píng)：本例與常規(guī)線性規(guī)劃不同，主要是目標(biāo)函數(shù)不是直線形式，此類問(wèn)題常考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點(diǎn)：
（1）

x2+y2

表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）的距離；

(x-a)2+(y-b)2

表示點(diǎn)（x，y）與（a，b）的距離．
（2）

y

x

表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）連線的斜率；

y-b

x-a

表示點(diǎn)（x，y）與（a，b）連線的斜率．
這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（2）和或積為定值；
（3）等號(hào)能否成立，即一正、二定、三相等，這三個(gè)條件缺一不可．