Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)（1，-5），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4，

π

2

)，若直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為

π

3

，圓C以M為圓心、4為半徑．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為Q（x，y），利用傾斜角與斜率的公式建立關(guān)系式得到x、y關(guān)于t的方程組，即可得到直線l的參數(shù)方程；由圓的性質(zhì)和極坐標(biāo)的定義，利用題中數(shù)據(jù)可得圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）將直線l與圓C都化成直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，得到圓心到直線的距離比圓C半徑大，從而得到直線l和圓C的位置關(guān)系．

解答：解：（1）∵直線l過點(diǎn)P（1，-5），傾斜角為

π

3

，
∴設(shè)l上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為Q（x，y），則

y+5

x-1

=tan

π

3

=

sin π 3

cos π 3

，
因此，設(shè)y+5=tsin

π

3

=

3

2

t，x-1=tcos

π

3

=

1

2

t，
得直線l的參數(shù)方程為

y=-5+ 3 2 t x=1+ 1 2 t

（t為參數(shù)）．
∵圓C以M(4，

π

2

)為圓心、4為半徑，
∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（2）將直線l化成普通方程，得

3

x-y-5-

3

=0，
圓C化成直角坐標(biāo)方程，可得x²+（y-2）²=4，
可得圓心C的坐標(biāo)為（0，2），半徑r=2
∵點(diǎn)C到直線l的距離d=

|-2-5- 3 |

1+3

=

1

2

(7+

3

)＞r，
∴直線l和圓C相離．

點(diǎn)評：本題給出直線的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系，著重考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．