Question

已知點(diǎn)（1，2）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=n+a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（2）由于b_n=n+a_n，所以bn=n+2n-1．利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：（1）把點(diǎn)（1，2）代入函數(shù)f（x）=a^x得2=a¹，解得a=2，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=f（n）-1=2ⁿ-1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，
對(duì)n=1時(shí)也適合．∴an=2n-1．
（2）由于b_n=n+a_n，所以bn=n+2n-1．
分組求和可得：Tn=(1+2+…+n)+1+2+22+…+2n-1
=

n(1+n)

2

+

2n-1

2-1

=

n(1+n)

2

+2n-1．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1求a_n、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．