Question

設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）滿足條件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x只有一個公共點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式πf(x)＞(

1

π

)2-tx在t∈[-2，2]時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

（1）∵由①f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸方程是x=-1，
∴b=2a；
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=只有一個公共點，
∴

y=ax2+bx y=x

有且只有一解，
即ax²+（b-1）x=0有兩個相同的實根；
故△=（b-1）²=0?b=1，a=

1

2

，
所以f（x）=

1

2

x2+x．
（2）∵π＞1∴πf(x)＞(

1

π

)2-tx?f（x）＞tx-2．
因為

1

2

x2+x＞tx-2在t∈[-2，2]時恒成立等價于
函數(shù)g（t）=xt-（

1

2

x²+x+2）＜0，t∈[-2，2]時恒成立；
∴

g(-2)＜0 g(2)＜0

?

x2-2x+4＞0 x2+6x+4＞0

?x＜-3-

5

，x＞-3+

5

故實數(shù)x的取值范圍是（-∞，-3-

5

）∪（-3+

5

，+∞）．