Question

4．已知點A（-3，0），B（3，0），動點P滿足|PA|=2|PB|．
（1）若點P的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（2）若點Q在直線l₁：x+y+3=0上，直線l₂經過點Q且與曲線C只有一個公共點M，當|QM|取最小值時，求直線QM的方程．

Answer 1

分析 （1）設P點的坐標為（x，y），利用動點P滿足|PA|=2|PB|，求解曲線的方程C的方程．
（2）求出圓的圓心與半徑，求出圓心M到直線l₁的距離，求出QM|的最小值，求出直線CQ的方程，得Q坐標，設切線方程為y+4=k（x-1），圓心到直線的距離$d=\frac{|4k-4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=4$，求出k求解直線方程．

解答 解：（1）設P點的坐標為（x，y），…（1分）
因為兩定點A（-3，0），B（3，0），動點P滿足|PA|=2|PB|，
所以（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，…（4分）
即（x-5）²+y²=16．
所以此曲線的方程為（x-5）²+y²=16．…（6分）
（2）因為（x-5）²+y²=16的圓心坐標為C（5，0），半徑為4，
則圓心M到直線l₁的距離為$\frac{|5+3|}{{\sqrt{2}}}=4\sqrt{2}$，…（7分）
因為點Q在直線l₁：x+y+3=0上，過點Q的直線l₂與曲線C：（x-5）²+y²=16只有一個公共點M，所以QM|的最小值為$\sqrt{（4\sqrt{2}{）^2}-{4^2}}=4$．…（9分）
直線CQ的方程為x-y-5=0，
聯立直線l₁：x+y+3=0，可得Q（1，-4），…（10分）
設切線方程為y+4=k（x-1），即kx-y-k-4=0，…（11分）
故圓心到直線的距離$d=\frac{|4k-4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=4$，得k=0，切線方程為y=-4；…（13分）
當切線斜率不存在時，切線方程為x=1，…（14分）
因此直線QM的方程x=1或y=-4．…（15分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系的綜合應用，考查計算能力．