Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

x

（1）當(dāng)a為何值時(shí)，y=f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：不論a為何值，y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）恒成立，依此求出a的值；
（2）利用單調(diào)性的定義容易證明之．

解答： 解：（1）定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以a-

2

-x

=-（a-

2

x

）恒成立．
所以a=-a，故a=0．
（2）任取0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-

2

x1

-(-

2

x2

)=

2(x1-x2)

x1x2

，
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故原函數(shù)不論a取何值，y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的定義以及利用單調(diào)性定義證明單調(diào)性的方法，屬于基礎(chǔ)題．