分析 (1)由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得tanx的值,把cos2x−sinxcosx1+sin2x轉(zhuǎn)化為正切得答案;
(2)利用降冪公式化簡,結(jié)合x的范圍求得值域,再由復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
解答 解:(1)∵f(x)=sin x+cos x,∴f(-x)=cos x-sin x.
又∵f(x)=2f(-x),∴sin x+cos x=2(cos x-sin x)且cos x≠0,得tan x=13.
∴cos2x−sinxcosx1+sin2x=cos2x−sinxcosx2sin2x+cos2x=1−tanx2tan2x+1=611;
(2)由題知F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x,
∴F (x)=cos 2x+sin 2x+1=√2sin(2x+π4)+1.
∵x∈(0,π2),
∴2x+π4∈(π4,5π4),則F(x)∈(0,√2+1].
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0,π8].
點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值,考查同角三角函數(shù)基本關系式的應用,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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