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13.已知函數(shù)f(x)=sin x+cos x.
(1)若f(x)=2f(-x),求cos2xsinxcosx1+sin2x的值;
(2)求函數(shù)F(x)=f(x)f(-x)+f 2(x),x∈(0,π2)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.

分析 (1)由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得tanx的值,把cos2xsinxcosx1+sin2x轉(zhuǎn)化為正切得答案;
(2)利用降冪公式化簡,結(jié)合x的范圍求得值域,再由復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

解答 解:(1)∵f(x)=sin x+cos x,∴f(-x)=cos x-sin x.
又∵f(x)=2f(-x),∴sin x+cos x=2(cos x-sin x)且cos x≠0,得tan x=13
cos2xsinxcosx1+sin2x=cos2xsinxcosx2sin2x+cos2x=1tanx2tan2x+1=611
(2)由題知F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x,
∴F (x)=cos 2x+sin 2x+1=2sin(2x+π4)+1.
∵x∈(0,π2),
∴2x+π4∈(π45π4),則F(x)∈(0,2+1].
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0,π8].

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值,考查同角三角函數(shù)基本關系式的應用,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),是中檔題.

練習冊系列答案
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A.B.C.D.

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①a>b⇒ac2>bc2; 
②a>|b|⇒a2>b2;
③|a|>b⇒a2>b2;   
④a>b⇒a3>b3
其中正確的命題是( �。�
A.①②B.②③C.③④D.②④

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