Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（1）當(dāng)0＜a＜

1

2

時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)a=

1

3

時設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2bx-

5

12

若對于?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)b的取值范圍（e是自然對數(shù)的底，e＜

3

+1）．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，令f'（x）＜0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；令f'（x）＞0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，注意a的范圍；
（2）當(dāng)a=

1

3

時，求得函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值，對于?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出g（x），x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
（1）f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（x＞0），f′（x）=

1

x

-a+

a-1

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

（x＞0），
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0），
當(dāng)a≠0時，由f′（x）=0，即ax²-x+1-a=0，解得x₁=1，x₂=

1

a

-1．
當(dāng)0＜a＜

1

2

時，

1

a

-1＞1＞0，x∈（0，1）時，h（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
x∈（1，

1

a

-1）時，h（x）＜0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x∈（

1

a

-1，+∞）時，h（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
綜上所述：當(dāng)0＜a＜

1

2

時，函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，（1，

1

a

-1）單調(diào)遞增，（

1

a

-1，+∞）單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)a=

1

3

時，由（1）可知函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，（1，2）上為增函數(shù)，（2，e]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值為min{f（1），f（e）}，而f（1）=-

2

3

，f（e）=

2-e2

3e

，且f（1）＜f（e），
∴f（x）_min=f（1）=-

2

3

，
若對于?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*），
又g（x）=x2-2bx-

5

12

，x∈[0，1]，
①當(dāng)b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數(shù)，g（x）_min=g（0）=-

5

12

＞-

2

3

，與（*）矛盾；
②當(dāng)0≤b≤1時，g（x）_min=g（b）=-b2-

5

12

，由-b2-

5

12

≤-

2

3

及0≤b≤1，解得

1

2

≤b≤1；
③當(dāng)b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，g（x）_min=g（1）=

7

12

-2b，由

7

12

-2b≤-

2

3

及b＞1，解得b＞1；
綜上，b的取值范圍是b≥

1

2

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，解題的關(guān)鍵是將對于?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．