Question

f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件：
①對(duì)于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）；
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，且f（1）=-2．
求函數(shù)f（x）在[-3，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：利用條件證明函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系，求函數(shù)的最值即可．
解答：解：設(shè)x₁＞x₂≥0，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
因?yàn)閤₁＞x₂≥0，所以f（x₁-x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)在[0，3]上單調(diào)遞減，
因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)在[-3，3]上單調(diào)遞減，
因?yàn)閒（1）=-2，所以f（2）=2f（1）=-4，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-6，
所以函數(shù)的最小值為f（3）=-6，函數(shù)的最大值為f（-3）=-f（3）=6．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用條件證明函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．