Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0．
（1）證明：f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

（1）證明：取y=1，則f（x+1）+1=f（x）+f（1）=f（x）．設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，x₁-x₂+1＞1，
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0，所以f（x₁-x₂+1）＜0．
f（x₁）=f（x₁+1）+1=f[x₂+（x₁-x₂+1）]+1
=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）-1+1=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）．
因?yàn)閒（x₁-x₂+1）＜0，所以f（x₂）＜f（x₁）．
所以函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）解：取x=y=0，得f（0）+1=f（0）+f（0），
所以f（0）=1，
由，得．
所以，．
因?yàn)閒（x）為實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，且f（0）=1
所以．
則m≤0．
所以實(shí)數(shù)m的范圍是（-∞，0]．
分析：（1）通過取y=1，由已知的等式得到f（x）=f（x+1）+1，設(shè)x₁，x₂∈R，規(guī)定大小后通過轉(zhuǎn)化得到：若x₁＞x₂，則所以f（x₁-x₂+1）＜0，然后得到f（x₁）=f（x₁+1）+1=f[x₂+（x₁-x₂+1）]+1，展開后分析即可得到答案；
（2）運(yùn)用f（x）=f（x+1）+1把的左邊展開，然后求出f（0）=1，借助于函數(shù)是減函數(shù)脫去“f”后求解不等式及可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查了特值法判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生靈活處理和解決問題的能力，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，是中檔題．