Question

已知等差數(shù)列a_n是遞增數(shù)列，且滿足a₅=3，S₆=12．
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=

1

anan+1

，數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和S_n，若存在整數(shù)t，使S_n≤t對(duì)任意自然數(shù)n∈N^*恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a₅=3，S₆=12列出關(guān)于首項(xiàng)和公關(guān)差的方程組，把其值代入通項(xiàng)公式即可．
（2）由a_n的通項(xiàng)公式得出b_n的通項(xiàng)公式，然后進(jìn)行裂項(xiàng)，每一項(xiàng)都變成差的形式，相加可抵消，最后剩余兩項(xiàng)，易于判斷S_n小于哪一個(gè)整數(shù)．

解答：解：（1）根據(jù)題意：

a1+4d=3 6a1+15d=12

，解得

a1= 1 3 d= 2 3

，（3分）
故等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁+（n-1）•d=

2n-1

3

（6分）
（2）bn=

1

anan+1

=

1

2n-1 3 •  2n+1 3

=

9

(2n-1)(2n+1)

=

9

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
S_n=

9

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

9

2

[（1-

1

2n+1

）]=

9

2

（1-

1

2n+1

）＜

9

2

（12分）
∵t是整數(shù)，∴t的最小值是5．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和的裂項(xiàng)法，求a_n有兩種方法，一種是a_n=a_m+（n-m）d，另一種利用通項(xiàng)公式，求首項(xiàng)和公差；用裂項(xiàng)法求和時(shí)，注意項(xiàng)的形式，分子上是一個(gè)常數(shù)，分母上可分解成兩個(gè)關(guān)于n的一次式相乘．