Question

已知點列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）順次為直線y=

x

4

上的點，點列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）順次為x軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1），對任意的n∈N*，點A_n、B_n、A_n+1構(gòu)成以B_n為頂點的等腰三角形．
（Ⅰ）求證：對任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常數(shù)，并求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）問是否存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點A_n、B_n、A_n+1構(gòu)成以B_n為頂點的等腰三角形，則有|A_nB_n|=|A_n+1B_n|得到x_n+1+x_n=2n，從而有x_n+2+x_n+1=2（n+1）兩式作差求解．
（Ⅱ）假設(shè)存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1，．在Rt△A_nB_nA_n+1中，|AnAn+1|=|xn+1-xn|=2×

n

4

=

n

2

．由n為正奇數(shù)時，|x_n+1-x_n|=2（1-a），故有2(1-a)=2×

n

4

，即1-a=

n

4

即0＜n＜4．n=1，3使得三角形A_nB_nA_n+1為等腰直角三角形．當(dāng)n為正偶數(shù)時，|x_n+1-x_n|有2a=2×

n

4

，即a=

n

4

，當(dāng)n=2時，使得三角形A_nB_nA_n+1為等腰直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）由題意得Bn(n，

n

4

)，A_n（x_n，0），A_n+1（x_n+1，0），
∵點A_n、B_n、A_n+1構(gòu)成以B_n為頂點的等腰三角形，
∴|A_nB_n|=|A_n+1B_n|，即

(xn-n)2+( n 4 )2

=

(xn+1-n)2+( n 4 )2

得x_n²-2nx_n=x_n+1²-2nx_n+1?（x_n+1-x_n）（x_n+1+x_n）=2n（x_n+1-x_n）
又∵x_n+1≠x_n，∴x_n+1+x_n=2n，①
則x_n+2+x_n+1=2（n+1）②
由②-①得，x_n+2-x_n=2，即x_n+2-x_n是常數(shù)．（6分）
即所列{x_2k-1}，{x_2k}（k∈N^*）都是等差數(shù)列．
（注：可以直接由圖象得到

xn+xn+1

2

=n，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*））
當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn=x1+(

n+1

2

-1)×2=a+n-1，
當(dāng)n為正偶數(shù)時，由x₂+x₁=2得，x₂=2-a，故xn=x2+(

n

2

-1)×2=n-a，
∴xn=

a+n-1，(n為正奇數(shù)) n-a，(n為正偶數(shù))

．（8分）
（Ⅱ）假設(shè)存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1，由題意∠A_nB_nA_n+1=90°．
在Rt△A_nB_nA_n+1中，|AnAn+1|=|xn+1-xn|=2×

n

4

=

n

2

．（10分）
當(dāng)n為正奇數(shù)時，x_n=a+n-1，x_n+1=n+1-a，
∴|x_n+1-x_n|=|n+1-a-a-n+1|=|2-2a|=2（1-a），故有2(1-a)=2×

n

4

，即1-a=

n

4

，
又∵0＜a＜1，∴0＜1-a＜1，∴0＜

n

4

＜1，即0＜n＜4，
∴當(dāng)n=1，3時，使得三角形A_nB_nA_n+1為等腰直角三角形．（12分）
當(dāng)n為正偶數(shù)時，x_n=n-a，x_n+1=a+n+1-1=a+n，
∴|x_n+1-x_n|=|a+n-n+a|=|2a|=2a，故有2a=2×

n

4

，即a=

n

4

，
又∵0＜a＜1，∴0＜

n

4

＜1，即0＜n＜4，
∴當(dāng)n=2時，使得三角形A_nB_nA_n+1為等腰直角三角形．（14分）
綜上所述，當(dāng)n=1，2，3時，使得三角形A_nB_nA_n+1為等腰直角三角形．（16分）

點評：本題主要考查解析幾何與數(shù)列的綜合問題，涉及到求數(shù)列的通項公式，兩點間的距離公式以及分類討論，數(shù)形結(jié)合等思想．