Question

已知函數(shù)f（x）=e^-xsinx（其中e=2.718…）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，+∞）上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負，可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，π]上的單調(diào)性，從而可得f（x）在[-π，π]上的最大值與最小值，由此可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=（-sinx+cosx）e^-x=

2

cos（x+

π

4

）e^-x．
令f′（x）=0，解得：x=kπ+

π

4

，k∈Z．
因為當(dāng)x∈（2kπ-

3

4

π，2kπ+

π

4

）（k∈Z）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）時，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ-

3

4

π，2kπ+

π

4

）（k∈Z），單調(diào)遞減區(qū)間是（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，-

3π

4

）上單調(diào)遞減，在（-

3π

4

，

π

4

）上單調(diào)遞增，在（

π

4

，π]上單調(diào)遞減．
f（-π）=0，f（

π

4

）=

2

2

e-

π

4

＞0，f（π）=0，f（-

3π

4

）=-

2

2

e

3π

4

＜0
所以f（x）在[-π，π]上的最大值為

2

2

e-

π

4

，最小值為-

2

2

e

3π

4

．
所以f（x）在[-π，+∞）上，x=2kπ+

π

4

（k∈Z）時，取得最大值

2

2

e-

π

4

；當(dāng)x=2kπ-

3

4

π（k∈Z）時，取得最小值-

2

2

e

3π

4

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，屬于中檔題．