Question

已知f（x）=x²+1，對任意x∈（0，+∞），f（

x

m

）-2m²f（x）≤f（x-2）-2f（m）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-

  2

  2

  ]∪[1，+∞）
• B、（-∞，-

  2

  2

  ]∪[

  2

  2

  ，+∞）
• C、（-∞，-1]∪[

  2

  2

  ，+∞）
• D、（-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：分離參數(shù)m后，圓不等式可化為

1

m2

-2m²≤1-

4

x

+

2

x2

，則問題轉化為

1

m2

-2m²≤（1-

4

x

+

2

x2

）_min，利用導數(shù)可求最小值．

解答： 解：f（

x

m

）-2m²f（x）≤f（x-2）-2f（m），即(

x

m

)2+1-2m²（x²+1）≤（x-2）²+1-2（m²+1），
整理得（

1

m2

-2m²）x²≤x²-4x+2，
∵x∈（0，+∞），
∴

1

m2

-2m²≤1-

4

x

+

2

x2

，
令g（x）=1-

4

x

+

2

x2

（x＞0），
則g′（x）=

4

x2

-

4

x3

=

4(x-1)

x3

，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
∴x=1時，g（x）取得極小值，也為最小值，是g（1）=-1，
∴

1

m2

-2m²≤-1，解得m≤-1或m≥1，
故選D．

點評：該題考查函數(shù)恒成立、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉化思想，直接求函數(shù)最值或分離參數(shù)后求函數(shù)最值是解決恒成立問題的基本思路．