已知拋物線y2=2px（p＞0），焦點(diǎn)為F，一直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)S（6，0）
①求拋物線方程；
②求△ABS面積的最大值．
①設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)M（x0，y0）
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴x0=4-
p
2

又
y21
=2px1
y22
=2px2
得
y21
-
y22
=2p(x1-x2)，∴y0=
p
k

所以M(4-
p
2
，
p
k
)
依題意
p
k
4-
p
2
-6
•k=-1，∴p=4
∴拋物線方程為y2=8x----（6分）
當(dāng)直線的斜率不存在時，2p=8，也滿足上式，∴拋物線方程為y2=8x
②當(dāng)直線的斜率存在時，由M（2，y0）及kl=
4
y0
，lAB：y-y0=
4
y0
(x-2)
令y=0，得xK=2-
1
4
y20

又由y2=8x和lAB：y-y0=
4
y0
(x-2)得：y2-2y0y+2
y20
-16=0
∴S△ABS=
2
8
(16+y02)2(32-2y02)
≤
2
8
•
(
64
3
)3
=
64
6
9
----（12分）
當(dāng)直線的斜率不存在時，AB的方程為x=2，|AB|=8，△ABS面積為
1
2
×8×4=16
∵
64
6
9
＞16，∴△ABS面積的最大值為
64
6
9
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)作一直線，和拋物線相交于，求的長。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知動點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)（2，0）的距離比到直線x=-3的距離少1，則動點(diǎn)M的軌跡方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B（如圖所示），交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，則此拋物線的方程為（　�。�
A．y2=8xB．y2=4xC．y2=2xD．y2=
3
x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，且過點(diǎn)（1，2），則拋物線的方程式為（　�。�
A．y2=4xB．y2=±4x
C．x2=4y或y2=4xD．以上都不對

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，則該拋物線的方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)P（m，3）到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線方程為（　　）
A．x2=8yB．x2=4yC．x2=-4yD．x2=-8y

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為
3
2
2
，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時，求直線AB的方程；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動時，求|AF|•|BF|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知以向量
v
=(1，
1
2
)為方向向量的直線l過點(diǎn)(0，
5
4
)，拋物線C：y2=2px（p＞0）的頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B是拋物線C上兩個動點(diǎn)，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點(diǎn)N，若
OA
•
OB
+p2=0（O為原點(diǎn)，A、B異于原點(diǎn)），試求點(diǎn)N的軌跡方程．

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同步練習(xí)冊答案