如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB1=3a,D為A1C1的中點，E為B1C的中點,

(1)求直線BE與A1C所成的角的余弦值.

(2)在線段AA1上是否存在點F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出|AF|；若不存在，請說明?理由.

 

解析：(1)以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.?

∵AC=2a,∠ABC=90°,

∴AB=BC=a.

∴B(0,0,0),C(0, a,0),A(a,0,0),A1(a,0,3a),C1(0, a,3a),B1(0,0,3a).

∴D(a, a,3a),E(0,a,a).?

∴=(a,-a,3a),=(0,a,a).

∴||=a,||=a.

∴·=0-a2+a2=a2.?

∴cosθ==.

(2)假設(shè)存在點F，要使⊥平面B1DF，只要⊥且⊥.

不妨設(shè)AF=b,則F(a,0,b),=(a,-a,b), =(a,0,b-3a), =(a,a,0).

∵·=a2-a2=0,?

∴⊥恒成立.?

·=2a2+b(b-3a)=0b=a或b=2a,故當(dāng)||=a或2a時，⊥平面B1DF.


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為a，D是側(cè)棱CC1的中點．
（1）求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求異面直線AB1與BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點，若記
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，則
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分別是A'B'、A'A的中點．
（1）求證：A'B⊥C'M；
（2）求異面直線BA'與CB'所成交的大小；
（3）（理）求BN與平面CNB'所稱的角的大��；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點D是AB的中點.

（1）求證：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱錐B1—A1BC的體積；

（4）求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點,且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1與BC1所成的角;

(3)求點A到平面BC1D的距離.

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