Question

已知函數(shù)，其中a＞0且a≠1．
（1）分別判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性；
（2）比較f（1）-1與f（2）-2、f（2）-2與f（3）-3的大小，由此歸納出一個更一般的結(jié)論，并證明；
（3）比較與、與的大小，由此歸納出一個更一般的結(jié)論，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)，再判導(dǎo)數(shù)的符號．
（2）直接計算f（1）-1與f（2）-2、f（2）-2與f（3）-3，進行比較．比較大小可用做差比較法．
歸納一般的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性進行證明．
（3）利用基本不等式和做差比較法比較大小，歸納結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)進行證明．
解答：解：（1），
若0＜a＜1，則，lna＜0，所以f^/（x）＞0；
若a＞1，則，lna＞0，所以f^/（x）＞0，
因此，任意a＞0且a≠1，都有f^/（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)遞增．
（2）直接計算知f（1）-1=0，f（2）-2=a+a^-1-2，f（3）-3=a²+a^-2-2，
根據(jù)基本不等式a+a^-1-2＞0，所以f（2）-2＞f（1）-1，
又因為=，
所以f（3）-3＞f（2）-2．
假設(shè)?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
記g（x）=[f（x+1）-（x+1）]-[f（x）-x]，．與（1）類似地討論知，對?x＞0和?a＞0且a≠1都有g(shù)^/（x）＞0，g（x）在[0，+∞）上的單調(diào)遞增，g（0）=0，
所以g（x）＞g（0）=0，即?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
（3），，，
根據(jù)基本不等式，，
所以．
假設(shè)?x＞0，．
記，x＞0，，
設(shè)，
則h（0）=0且，
類似（1）的討論知，
從而h（x）＞h（0）=0，g^/（x）＞0，g（x）在R⁺上單調(diào)增加，
所以?x＞0，．
點評：本題考查比較大小、歸納推理、函數(shù)單調(diào)性的證明及應(yīng)用，綜合性強，難度較大．