Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=na_n-2n（n-1）．等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，公比為a₁，且T₅=T₃+2b₅．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為M_n，求證：≤M_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)T₅=T₃+2b₅ ，求得 b₄=b₅，得到公比 a₁==1，再由當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1 可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，由此求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）用裂項(xiàng)法求得 M_n =（1-）＜，再由數(shù)列{ M_n }是增數(shù)列，可得 M_n≤M₁=，從而命題得證．
解答：解：（1）∵等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，公比為a₁，且T₅=T₃+2b₅ ，∴b₄+b₅=2b₅，
∴b₄=b₅，∴公比 a₁==1，故等比數(shù)列{b_n}是常數(shù)數(shù)列．
數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=na_n-2n（n-1），當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n=s_n-s_n-1=na_n-2n（n-1）-[na_n-1-2（n-1）（n-2）]，∴a_n-a_n-1=4 （n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，a_n=4n-3．
（2）∵數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為M_n，
===，
∴M_n =[1-+++…+]=（1-）＜．
再由數(shù)列{ M_n }是增數(shù)列，∴M_n≥M₁=．
綜上可得，≤M_n＜．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，用放縮法證明不等式，屬于難題．