Question

已知數列{a_n}滿足a₁=x，a₂=3x，Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2，n∈N*)，S_n是數列{a_n}的前n項和．
（1）若數列{a_n}為等差數列．
（�。┣髷盗械耐�項a_n；
（ⅱ）若數列{b_n}滿足bn=2an，數列{c_n}滿足cn=t2bn+2-tbn+1-bn，試比較數列{b_n}前n項和B_n與{c_n}前n項和C_n的大��；
（2）若對任意n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）（�。┯梢阎�可得，an+1+an+an-1=3n2+2-(3n2-6n+5)=6n-3．再結合等差中項的性質即可求出數列的通項公式a_n；
（ⅱ）根據（ⅰ）可知bn=2an=2^2n-1，cn=t2bn+2-tbn+1-bn=（16t²-4t-1）b_n．從而B_n=b₁+b₂+…+b_n，C_n=c₁+c₂+…+c_n=（16t²-4t-1）（b₁+b₂+…+b_n）．只需比較16t²-4t-1與1的大小即可得出B_n與C_n的大小關系；
（2）利用已知條件得出a_n+3-a_n=6（n≥2，n∈N^*）．然后分n=3k-1，n=3k，n=3k+1三種情況討論，列出不等式組解答即可．

解答： 解：（1）（�。�∵Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2，n∈N*)，①
∴Sn+Sn-1+Sn-2=3(n-1)2+2=3n²-6n+5（n≥3，n∈N^*）．②
①-②，得
an+1+an+an-1=3n2+2-(3n2-6n+5)=6n-3．
∵數列{a_n}為等差數列，
∴a_n+1+a_n-1=2a_n．
∴3a_n=6n-3．
∴a_n=2n-1（n≥3）③
當n=1時，
a₁=1，a₂=3符合③式．
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．
（ⅱ）∵a_n=2n-1．
∴bn=2an=2^2n-1，
∴cn=t2bn+2-tbn+1-bn
=（16t²-4t-1）b_n．
∴B_n=b₁+b₂+…+b_n，
C_n=c₁+c₂+…+c_n
=（16t²-4t-1）（b₁+b₂+…+b_n）．
當16t²-4t-1=1，即t=

1

2

或t=-

1

4

時，B_n=C_n．
當16t²-4t-1＞1，即t＞

1

2

或t＜-

1

4

時，B_n＜C_n．
當16t²-4t-1＜1，即-

1

4

＜t＜

1

2

時，B_n＞C_n．
（2）∵Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2，n∈N*)，④
∴Sn+2+Sn+1+Sn=3(n+1)2+2（n∈N^*）⑤
④-⑤，得
an+2+an+1+an=6n+3(n≥2，n∈N*)．⑥
∴an+3+an+2+an+1=6(n+1)+3(n∈N*)⑦
⑥-⑦，得
a_n+3-a_n=6（n≥2，n∈N^*）．
∴當n=1時，a_n=a₁=x．
當n=3k-1時，
a_n=a_3k-1=a₂+（k-1）×6
=3x+6k-6
=2n+3x-4．
當n=3k時，
a_n=a_3k=a₃+（k-1）×6
=14-9x+6k-6
=2n-9x+8．
當n=3k+1時，
a_n=a_3k+1=a₄+（k-1）×6
=1+6x+6k-6
=2n+6x-7，
∵對任意n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，
∴a₁＜a₂且a_3k-1＜a_3k＜a_3k+1＜a_3k+2．
∴

x＜3x 6k+3x-6＜6k-9x+8 6k-9x+8＜6k+6x-5 6k+6x-5＜6k+3x

解得，

13

15

＜x＜

7

6

．
∴實數x的取值范圍為(

13

15

，

7

6

)．

點評：本題考查等差數列，等比數列的性質，數列與不等式的綜合問題的解答等知識，屬于難題．