Question

（2011•普陀區(qū)三模）（理）已知函數(shù)f(x)=

sinπx x∈[0，1] log2011x x∈(1，+∞)

若滿(mǎn)足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），則a+b+c的取值范圍是

（2，2012）

．

Answer 1

分析：不妨設(shè)a＜b＜c，根據(jù)題意在坐標(biāo)系里作出函數(shù)的圖象，將直線y=y₀進(jìn)行平行移動(dòng)，可得左邊兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=

1

2

對(duì)稱(chēng)，故a+b=1，再觀察對(duì)數(shù)函數(shù)圖象得c滿(mǎn)足1＜c＜2011，才能使兩個(gè)圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，最后綜合以上兩點(diǎn)，可得出a+b+c的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意，不妨設(shè)a＜b＜c，可得
作出函數(shù)的圖象，直線y=y₀交函數(shù)圖象于如圖，由正弦曲線的對(duì)稱(chēng)性，
可得A（a，y₀）與B（b，y₀）關(guān)于直線x=

1

2

對(duì)稱(chēng)，因此a+b=1

當(dāng)直線線y=y₀向上平移時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2011，1）時(shí)圖象兩個(gè)圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)（A、B重合）
所以0＜y₀＜1時(shí)，兩個(gè)圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)滿(mǎn)足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），
說(shuō)明1＜c＜2011，因此可得a+b+c∈（2，2012）
故答案為（2，2012）

點(diǎn)評(píng)：本題以三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)為例，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根個(gè)數(shù)討論等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．利用數(shù)形結(jié)合，觀察圖象的變化，從而得出變量的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．