Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n（n+2），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且有．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項a_n，b_n；
（2）設(shè)，試判斷數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
（3）在（2）的前提下，設(shè)M_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，證明：．

Answer 1

（1）解：∵S_n=n（n+2），
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3滿足上式
∴a_n=2n+1
∵
∴T_n+1-T_n=2b_n-1
∴b_n+1=2b_n-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1）
∴{b_n-1}是公比為2的等比數(shù)列
∴
∴
（2）解：，數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列
證明：∵
=
∴數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列
（3）證明：∵
∴M_n=c₁+c₂+…+c_n≥
令①
∴②
①-②：=
∴
∴=
∴
分析：（1）根據(jù)當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可求數(shù)列{a_n}的通項a_n，根據(jù)，可得b_n+1=2b_n-1，從而{b_n-1}是公比為2的等比數(shù)列，故可求數(shù)列{b_n}的通項b_n；
（2），數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，再用作差法證明即可；
（3）根據(jù)，可得M_n=c₁+c₂+…+c_n≥，利用錯位相消法，求出右邊的和，即可證得結(jié)論．
點評：本題以數(shù)列的和為載體，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查不等式的證明，同時考查錯位相減法求數(shù)列的和，綜合性強(qiáng)．