Question

若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數(shù)且x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且滿足f（x）=2x有兩個相等實根，求a，b的值；
（2）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），求函數(shù)f（x）的表達式；
（3）在（2）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以b=0，
因為f（x）=2x有兩個相等實根，
即ax²+1=2x．有△=0，
所以a=1．
（2）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，
又x∈R，f（x）≥0恒成立．
∴，
∴b²-4（b-1）≤0，
∴b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1．
（3）g（x）=f（x）-kx
=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1
=（x+）²+1-，
當或時，
即k≥6或k≤-2時，g（x）是單調(diào)函數(shù)．
分析：（1）利用函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求出b，利用f（x）=2x有兩個相等實根，△=0，求出a，即可得到a，b的值；
（2）若f（-1）=0，推出a，b的一個關系式，利用函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），得到a，b，的關系式，然后求a，b，得到函數(shù)f（x）的表達式；
（3）通過（2）的條件，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，利用二次函數(shù)的對稱軸，求實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，考查計算能力．