Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），過(guò)點(diǎn)B（0，b）作圓x²+y²=$\frac{^{2}}{4}$的兩條切線BM、BN，切點(diǎn)分別為點(diǎn)M和N，若$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{3}{8}$，且該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓C的左右焦點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓C上的平行四邊形PQIJ的兩條對(duì)邊PQ、IJ分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁、F₂，求平行四邊形PQIJ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意∠MBN=60°，BM=BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，利用$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{3}{8}$，求出b，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a，c，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）由題意，平行四邊形PQIJ面積最大時(shí)，平行四邊形PQIJ為矩形，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意∠MBN=60°，BM=BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∵$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{3}{8}$，
∴$\frac{3}{4}^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
∴b=1，
∵橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1由題意；
（Ⅱ）由題意，平行四邊形PQIJ面積最大時(shí)，平行四邊形PQIJ為矩形，
∵x=1時(shí)，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴平行四邊形PQIJ面積的最大值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．