Question

16．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知tanA+tanC=$\frac{5}{4}$tanAtanC，且a、b、c成等比數(shù)列．
（1）求sinB的值；
（2）若△ABC的面積為4，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列和正弦定理以及兩角和差的正弦公式，即可求得sinB；
（2）由三角形的面積公式S=acsinB，計算得到ac，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可求出答案．

解答 解：（1）∵a、b、c成等比數(shù)列．
∴b²=ac，
∴sin²B=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∴sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC，
∴sinB•$\frac{sinAcosC+cosAsinC}{cosAcosC}$=$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$，
∴sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
∵tanA+tanC=$\frac{5}{4}$tanAtanC，
∴sinB=$\frac{4}{5}$；
（2）∵△ABC的面積為4，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=4，
∴ac=10，
∵sinB=$\frac{4}{5}$，b不是最大邊，
∴cosB=$\frac{3}{5}$，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB=10×$\frac{3}{5}$=6．

點評 本題考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，三角形的面積公式的運用，向量的數(shù)量積的運算，考查運算能力，屬于中檔題．