Question

5．若把1+（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ展開成關(guān)于x的多項式，常數(shù)項為a_n，含x的系數(shù)為b_n，含x²的系數(shù)為c_n，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}_{n}}{{c}_{n}}$=3．

Answer 1

分析 利用二項式定理與數(shù)列極限的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：把1+（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ展開成關(guān)于x的多項式，
則常數(shù)項為a_n=n+1，
含x的系數(shù)為b_n=$1+{∁}_{2}^{1}+{∁}_{3}^{1}$+…+${∁}_{n}^{1}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
含x²的系數(shù)為c_n=${∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{2}$+…+${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n+1}^{3}$．
則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}_{n}}{{c}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{n（n+1）^{2}}{2}}{\frac{（n+1）n（n-1）}{6}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{3+\frac{3}{n}}{1-\frac{1}{n}}$=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了二項式定理與數(shù)列極限的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．